Optimized formulas for the gravitational field of a tesseroid

Various tasks in geodesy, geophysics, and related geosciences require precise information on the impact of mass distributions on gravity field-related quantities, such as the gravitational potential and its partial derivatives. Using forward modeling based on Newton\u27s integral, mass distributions are generally decomposed into regular elementary bodies. In classical approaches, prisms or point mass approximations are mostly utilized. Considering the effect of the sphericity of the Earth, alternative mass modeling methods based on tesseroid bodies (spherical prisms) should be taken into account, particularly in regional and global applications. Expressions for the gravitational field of a point mass are relatively simple when formulated in Cartesian coordinates. In the case of integrating over a tesseroid volume bounded by geocentric spherical coordinates, it will be shown that it is also beneficial to represent the integral kernel in terms of Cartesian coordinates. This considerably simplifies the determination of the tesseroid\u27s potential derivatives in comparison with previously published methodologies that make use of integral kernels expressed in spherical coordinates. Based on this idea, optimized formulas for the gravitational potential of a homogeneous tesseroid and its derivatives up to second-order are elaborated in this paper. These new formulas do not suffer from the polar singularity of the spherical coordinate system and can, therefore, be evaluated for any position on the globe. Since integrals over tesseroid volumes cannot be solved analytically, the numerical evaluation is achieved by means of expanding the integral kernel in a Taylor series with fourth-order error in the spatial coordinates of the integration point. As the structure of the Cartesian integral kernel is substantially simplified, Taylor coefficients can be represented in a compact and computationally attractive form. Thus, the use of the optimized tesseroid formulas particularly benefits from a significant decrease in computation time by about 45% compared to previously used algorithms. In order to show the computational efficiency and to validate the mathematical derivations, the new tesseroid formulas are applied to two realistic numerical experiments and are compared to previously published tesseroid methods and the conventional prism approach

Festschrift zur 150-Jahr-Feier des Geodätischen Instituts (1868 - 2018)

In der Festschrift zur 150-Jahr-Feier des Geodätischen Instituts Karlsruhe (GIK) wird eine historische Übersicht über die Entwicklung des GIK gegeben. Aktuelle Forschungsergebnisse werden präsentiert sowie Innovationen aufgezeigt

External gravitational field of a homogeneous ellipsoidal shell: a reference for testing gravity modelling software

There are numerous applications in geodesy and other geo-sciences in which the gravitational potential effect or other functions of the potential are computed by forward modelling from a given mass distribution. Different volume discretisations, e.g. prisms, tesseroids or mass layers are used. In order to control the numerical realisation of the forward calculation in the practical application, e.g. in reduction tasks, these evaluation programs should be verified against rigorous analytical solutions. In this contribution, a closed analytical solution for the potential of an ellipsoidal shell as a test body is presented. Furthermore, we derive the respective closed formulae for the gravity vector and the gravity gradient tensor. Program implementations of the tesseroid approach are compared on the basis of this ellipsoidal mass arrangement. For the practical usage, fast-converging expansions in spherical harmonics are provided in addition. The derivation of the formulae is based on a closed solution of the potential of a homogeneous ellipsoid for computation points situated on the rotation axis, which then is extended to the external space

Zur Realisierung eines einheitlichen globalen Höhendatums

Nationalen Höhensystemen liegt im Allgemeinen ein individuelles vertikales Datum zu Grunde, welches durch einen lokalen Meerespegel definiert ist. Global gesehen unterscheiden sich die Niveaus verschiedener Höhensysteme dadurch um ±1–2 m. Bei vielen globalen geodätischen Aufgabenstellungen sowie bei der Bewertung globaler geodynamischer und klimatologischer Prozesse ist es allerdings erforderlich, sich auf ein einheitliches physikalisches Höhenniveau zu beziehen. Die Realisierung eines einheitlichen globalen Höhendatums ist hierfür von zentraler Bedeutung und erfordert die Ableitung von geeigneten Datumsparametern, mit denen eine Integration nationaler Höhensysteme in ein globales vertikales Datum ermöglicht wird. Vor dem Hintergrund dieser Höhendatumsproblematik werden in diesem Beitrag zwei Verfahren mit unterschiedlichem Genauigkeitsniveau vorgeschlagen und deren theoretischen Grundlagen präsentiert. Das erste Verfahren beruht auf einer satellitengestützten Höhenübertragung und kommt ohne terrestrische Punktschweremessungen aus. Es eignet sich daher vor allem für den Einsatz in Entwicklungs- und Schwellenländern mit geringer geodätischer Infrastruktur. Das zweite Verfahren basiert auf einem fixen geodätischen Randwertproblem (GRWP) und ermöglicht es durch die zusätzliche Einbeziehung von terrestrischen Schweremessungen eine hochgenaue Lösung zu erhalten

Die Karlsruher Tesseroidmethode

Die Wirkungen von Massen im System Erde haben eine wichtige Bedeutung in der Erdsystemforschung. Hierbei ist zum einen die Modellierung von Massenverlagerungen erforderlich um dynamische Prozesse in einen stationären Zustand abzubilden. Zum anderen ist es auch von zentraler Bedeutung Funktionale des Erdschwerefeldes, welche von unterschiedlichen Massen (Atmosphäre, Eis, Topographie etc.) abhängig sind, zu glätten und somit einer geeigneten Modellbildung zuzuführen. Dies wird durch die Reduktion von Masseneffekten realisiert. In den Geowissenschaften Geophysik und Geodäsie handelt es sich insbesondere um topographische und isostatische Massen, die modelliert und reduziert werden. Die dazu erforderlichen Gelände- und Dichtemodelle werden in zunehmend höherer Genauigkeit und Auflösung bereitgestellt. Hierzu muss auch die entsprechende Modellbildung stets verifiziert werden, ob sie noch den steigenden Anforderungen hinsichtlich Genauigkeit und Effizienz bei der numerischen Umsetzung gerecht wird. In diesem Kontext sind Bernhard Heck wertvolle Weiterentwicklungen in der Modellbildung zuzuschreiben. Insbesondere hat er eine echte sphärische Diskretisierung der Massenelemente in Form von Tesseroiden motiviert und vorangebracht

A Precise Geoid Model for Africa: AFRgeo2019

In the framework of the IAG African Geoid Project, an attempt towards a precise geoid model for Africa is presented in this investigation. The available gravity data set suffers from significantly large data gaps. These data gaps are filled using the EIGEN-6C4 model on a 15′× 15′ grid prior to the gravity reduction scheme. The window remove-restore technique (Abd-Elmotaal and Kühtreiber, Phys Chem Earth Pt A 24(1):53–59, 1999; J Geod 77(1–2):77–85, 2003) has been used to generate reduced anomalies having a minimum variance to minimize the interpolation errors, especially at the large data gaps. The EIGEN-6C4 global model, complete to degree and order 2190, has served as the reference model. The reduced anomalies are gridded on a 5′× 5′ grid employing an un-equal weight least-squares prediction technique. The reduced gravity anomalies are then used to compute their contribution to the geoid undulation employing Stokes’ integral with Meissl (Preparation for the numerical evaluation of second order Molodensky-type formulas. Ohio State University, Department of Geodetic Science and Surveying, Rep 163, 1971) modified kernel for better combination of the different wavelengths of the earth’s gravity field. Finally the restore step within the window remove-restore technique took place generating the full gravimetric geoid. In the last step, the computed geoid is fitted to the DIR_R5 GOCE satellite-only model by applying an offset and two tilt parameters. The DIR_R5 model is used because it turned out that it represents the best available global geopotential model approximating the African gravity field. A comparison between the geoid computed within the current investigation and the existing former geoid model AGP2003 (Merry et al., A window on the future of geodesy. International Association of Geodesy Symposia, vol 128, pp 374–379, 2005) for Africa has been carried out

Untersuchungen zur effizienten Berechnung topographischer Effekte auf den Gradiententensor am Fallbeispiel der Satellitengradiometriemission GOCE

Mit der Satellitenmission GOCE werden zur Bestimmung des Erdschwerefeldes erstmals Gravitationsgradienten (zweite Ableitungen des Gravitationspotentials) gemessen. Um die Fortsetzung der Gradienten nach unten zu stabilisieren, können diese durch Anbringen von topographischen Reduktionen geglättet werden. Innerhalb dieser Arbeit werden Untersuchungen zur effizienten Berechnung topographischer Effekte durchgeführt und optimierte Formeln für die Massenmodellierung mittels Tesseroiden entwickelt